在逻辑代数运算中会遇到一些公式，以下我们推导证明几个常用的公式。

常用公式一：\(A+ \overline{A} B=A+B\)

方法一（从右至左）：\(A+B=(A+B)(A+ \overline{A}) =AA+A \overline{A} +AB +B \overline{A}=A(1+B) + \overline{A} B=A+ \overline{A} B\)

方法二（从左至右）：\(A+ \overline{A} B =A(B+ \overline{B} +\overline{A} B=AB+A \overline{B} +\overline{A} B=AB+AB+A \overline{B} +\overline{A} B=A(B+ \overline{B})+B(A+ \overline{A})\)

方法三（从左至右）：\(A+ \overline{A} B= A(1+B)+ \overline{A} B=A +AB +\overline{A} B=A+B(A+ \overline{A})=A+B\)

该公式可以简单总结为，如果两项相加但是某一项含有另一项的非，则这个非因子多余。

常用公式二：\(AB+ \overline{A} C +BC=AB+ \overline{A} C\)

方法一（从右至左）：\(AB+ \overline{A} C=(AB+ \overline{A})(AB+C)=(B+ \overline{A})(AB+C)=AB+ \overline{A} C+BC\)

方法二（从左至右）：\(AB+ \overline{A} C+BC=AB+ \overline{A} C+BC(A+ \overline{A})=AB+ABC+ \overline{A} C + \overline{A} BC=AB+ \overline{A} C\)

该公式可以简单表示为，如果第一项含有原变量，第二项含有该变量的反变量，只要第三项的因子含有前两项除了该变量的其他变量，那么第三项作废，可以进一步推广为以下公式：\[AB+ \overline{A} C+BCD \cdots=AB+ \overline{A} C\]

1.3.4基本规则

1.代入规则

在含有变量的某个等式中若将某个变量A全部用同一个逻辑表达式代替，则等式依然成立，反之，同一个逻辑表达式全部用同一个变量代替则也成立。由此，摩根定律可以演化成n个变量：\[ \overline{A_1+A_2+ \cdots + A_n}= \overline{A_1} \overline{A_2} \cdots \overline{A_n} , \overline{A_1A_2 \cdots A_n}= \overline{A_1}+ \overline{A_2} + \cdots + \overline{A_n}\]

2.反演规则

对任何一个逻辑表达式，如果将其中的“+”换成\(“ \cdot ”\)，\(“ \cdot ”\)变为“+”，1变为0,0变为1，“原变量”变为“反变量”。同时有以下几点需要注意：

1、保持原函数的运算次序，先与后或，必要时加入括号。

2、对于大非号的处理可以直接去掉或者将大非号保留，下面的变量做反演规则变换。

3、若存在异或或同或运算则\(“ \oplus ”变为“ \odot ”,“ \odot ”变为“ \oplus ”\)

以下是一个反演规则变化的例子：

已知\(Y=A \overline{B} +\overline{(A+C)B}+\overline{A} \overline{B} \overline{C}，求 \overline{Y} \)

解：\[ \overline{Y} = ( \overline{A} +B) \cdot \overline{ \overline{A} \overline{C} + \overline{B}} \cdot (A+B+C) = ( \overline{A} + B) \cdot ((A+C) \cdot B) \cdot (A+B+C) \]

3.对偶规则

如果两个逻辑表达式相等则他们的对偶式也相等，具体对偶式的变化按照以下规则：对于任意的表达式，将“+”变为\(” \cdot “\)，将\(” \cdot “\)变为“+”，1变为0,0变为1，并保持原来的运算次序不变。无需将变量取反！！！有以下例子：\[已证明 A+ \overline{A} B=A+B 那么 A( \overline{A} +B)=AB 也成立\] \[已证明 AB+ \overline{A} C+BC= AB+ \overline{A} C 那么(A+B)( \overline{A} +C)(B+C)=(A+B)( \overline{A} +C) 也成立\]

4.展开规则

设逻辑函数\(Y=F(A_1,A_2, \cdots ,A_i, \cdots , A_n\)则有：\[F(A_1,A_2, \cdots , A_i, \cdots ,A_n)=A_iF(A_1,A_2, \cdots , 1, \cdots , A_n)+ \overline{A_i} F(A_1,A_2, \cdots ,0, \cdots, A_n)\] \[F(A_1,A_2, \cdots , A_i , \cdots , A_n)=[A_i+F(A_1,A_2, \cdots , 0, \cdots ,A_n)] \cdot [\overline{A_i} +F(A_1,A_2, \cdots , 1, \cdots A_n)]\]

利用展开规则可以将具有较多变量的函数分解成为几个具有较少变量的函数。

1.4逻辑函数及其表示方法

1.4.1逻辑函数的基本表示方法

我们一般用0或1表示逻辑变量，且逻辑变量有且仅有两种状态中的一种。以电灯开关状态为例，先有一个房间有三扇门，每一扇门上都有一个控制房间内电灯的开关，且任意开关都能打开或者关闭房间内的电灯用A=1表示开关闭合，用A=0表示开关断开。我们可以用多种方法表示，例如真值表，逻辑函数表达式，逻辑图，时序图和硬件语言等。以下将一一介绍。

1.真值表

简而言之，真值表便是把逻辑变量的每一种情况都考虑，最后绘制成表，例如下表：